Lehrfilme: Geometrie

Film: Volumen und Oberflächen von Prismen und Zylindern

Zylinder begegnen uns im Alltag oft, zum Beispiel in Form von Konservendosen. Um ihre Oberfläche zu berechnen, muss man die Grundflächen der beiden Seiten mit der Mantelfläche addieren. Für die Seitenflächen berechnet man den Flächeninhalt des Kreises, den sie jeweils bilden, und für die Mantelfläche den des Rechtecks, als das man sie erkennt, wenn man sie ausgebreitet hat. Prismen haben, wie auch Zylinder, an jeder Stelle den gleichen Querschnitt. Auch bei ihnen wird die Grundfläche mal zwei gerechnet und mit dem Mantelflächenrechteck addiert. Um das Volumen zu berechnen, multipliziert man jeweils die Grundfläche mit der Körperh...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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Film: Geometrie des Kreises

Der Kreis hat von jeher für Menschen eine besondere Bedeutung als vollkommene mathematische Figur. Er wird in der Kunst, im Handwerk und in der Technik vielfach verwendet und wurde auch für magische Zwecke eingesetzt. Der Film stellt den Zirkel vor, der das Zeichnen eines Kreises erlaubt, und erläutert seine Rolle als Teil des nautischen Bestecks für die frühe Seefahrt. Ein Kreis besteht aus einem Mittelpunkt und einer Kreislinie. Alle Punkte, die auf der Kreislinie liegen, sind genau gleich weit vom Mittelpunkt entfernt. Der Abstand zwischen der Kreislinie und dem Mittelpunkt heißt Radius, und die Gerade, die von einer Seite der Kreislinie zur anderen durc...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Film: Vielecke

Jede geometrische Figur mit Ecken ist ein Vieleck, also ein Polygon. Dieser Film beschäftigt sich vor allem mit regelmäßigen Vielecken, bei denen alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß sind. Es wird an die bereits bekannten Figuren des gleichseitigen Dreiecks und des Quadrats erinnert und gezeigt, wie man bei ihnen den Flächeninhalt und den Umfang berechnet. Anhand des regelmäßigen Sechsecks wird demonstriert, wie man ein Vieleck in mehrere Dreiecke unterteilt und so den Flächeninhalt wie auch den Umfang des Vielecks berechnen kann. Das Vorgehen unterscheidet sich bei Polygonen mit einer geraden und solchen mit einer ungeraden Anzah...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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Film: Dreieck - besondere Linien und Punkte im Dreieck

Es gibt Linien in allen Dreiecken, die besondere Erkenntnisse vermitteln. Der Film nennt die Seitenhalbierende, die Höhe des Dreiecks, die Mittelsenkrechte, die Winkelhalbierende und die Mittellinie. Es wird erläutert, wo und wie diese Linien verlaufen. Bestimmte Punkte entscheiden über ihre Lage im Dreieck. Der Schwerpunkt des Dreiecks zum Beispiel ist der Schnittpunkt aller Seitenhalbierenden. Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten, und der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Im Film wird erläutert, wie man die Fläche des Dreiecks berechnen kann, wenn man die Höhe und die Abhängigkeit der Mittellinien von der nicht i...hier weiterlesen

Produktion: 2014

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Film: Dreiecke - Arten, Winkel, Umfang, Fläche

Liegen drei Punkte nicht auf einer Linie und sind durch drei Geraden verbunden, spricht man von einem Dreieck. Die Benennung der Eckpunkte erfolgt in Großbuchstaben. Sie beginnt in der unteren linken Ecke und verläuft gegen den Uhrzeigersinn. Die Seiten werden mit Kleinbuchstaben gekennzeichnet. Dabei wird jeweils der Buchstabe in klein verwendet, der in groß die gegenüberliegende Ecke bezeichnet. Es gibt gleichseitige, gleichschenklige und ungleichseitige Dreiecke. Bei ihnen allen beträgt die Summe der Innenwinkel 180 Grad, ihre Art aber verändert sich nach Art des Dreiecks: Drei Winkel von 60 Grad treten beim gleichseitigen Dreieck auf. Das gleichschenklige Dreieck hat zwei Innenwinkel,...hier weiterlesen

Produktion: 2014

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Film: Satz des Pythagoras

Alle Dreiecke bestehen aus je einer Hypotenuse, einer Ankathete und einer Gegenkathete, also aus den drei Seiten a, b, und c. Jede dieser Seiten hat eine bestimmte Länge. Diese Seitenlängen können zueinander in Verbindung gesetzt werden, wenn man den Satz des Pythagoras nutzt: a²+b²=c². Rechnet man also die Quadrate von a und b zusammen, sind sie so groß wie das von c. Anders ausgedrückt sind die Quadrate von Ankathete und Gegenkathete so groß wie das der Hypotenuse, wie man geometrisch beweisen kann. Der Satz des Pythagoras kann auf unterschiedliche Arten bewiesen werden, von denen der Film zwei demonstriert. Für einen solchen Beweis muss man nicht unbedingt Quadrate benutzen, wie eindru...hier weiterlesen

Produktion: 2014

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Film: Satz des Thales

In rechtwinkligen Dreiecken gibt es bestimmte Sachverhalte, die immer gleich sind, wie der Satz des Thales sagt. Im Film wird der Beweis geführt mit einer Geraden, die von einem Halbkreis doppelt geschnitten wird. Benennt man die beiden Schnittpunkte als Punkte A und B eines Dreiecks und wählt einen beliebigen Punkt C auf dem Halbkreis, so entsteht hier immer ein rechter Winkel. Ob der Punkt mittig oder mehr zu einem der Ränder hin gewählt wird, ist egal. Dieser Halbkreis ist der Thaleskreis. Wird ein Punkt C abseits davon gewählt, hat der dazugehörige Winkel niemals 90 Grad, was im Film unter Beweis gestellt wird. Ein rechtwinkliges Dreieck kann auch gleichschenklig sein, muss es aber ni...hier weiterlesen

Produktion: 2014

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Film: Vierecke

Es gibt bestimmte Eigenschaften, die allen Vierecken gemein ist. Beispielsweise beträgt ihre Winkelsumme immer 360 Grad. Die Figuren haben alle stets vier Seiten, vier Ecken und vier Winkel. Der Film stellt die verschiedenen Formen von Vierecken vor. Er erklärt dabei die Erkennungszeichen der jeweiligen besonderen Form. Hat ein Viereck vier gleich Seiten und vier rechte Winkel, ist es ein Quadrat. Ein Rechteck hat vier rechte Winkel und zwei mal zwei gleiche Seiten. Ein Parallelogramm weist zwei mal zwei gleiche Winkel und zwei mal zwei gleiche Seiten auf. Die Raute hat vier gleiche Seite und zwei mal zwei gleiche Winkel, von denen jeweils die gleich groß sind, die sich gegenüber liegen. ...hier weiterlesen

Produktion: 2014

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Film: Cosinus

In der Trigonometrie kann man mit dem Cosinus die Beziehungen zwischen den Seiten und den Winkeln eines Dreiecks darstellen. Ist das Dreieck rechtwinklig, liegt die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden übrigen Seiten sind die Ankathete und die Gegenkathete. Man kann das Seitenverhältnis der Hypotenuse zur Ankathete oder zur Gegenkathete in Abhängigkeit des zwischen ihnen liegenden Winkels messen, indem man den Cosinus verwendet. Dies wird an einem Beispiel demonstriert, für das die Ankathete (b), die Hypotenuse (c) und der Winkel (C) verwendet werden: Dabei entspricht der Quotient von (b) und (c) dem Cosinus von (C). Sind also nur zwei dieser Größen bekannt, kann man das Dr...hier weiterlesen

Produktion: 2014

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Film: Scheitel, Neben-, Stufen- und Wechselwinkel

Winkel entstehen überall dort, wo zwei Linien sich schneiden. Im Film wird daran erinnert, dass rechte, gestreckte und Vollwinkel bereits bekannt sind, ebenso wie spitze, stumpfe und überstumpfe Winkel. Dann wird gezeigt, was es mit benachbarten Winkeln auf sich hat und dass sie eigentlich überall zu finden sind, wo es einen Winkel gibt: Man muss dafür nur eine der Linien verlängern. Es wird erläutert, warum die Nebenwinkel α und β zusammen immer 180 Grad ergeben. Das kann man auch an der Skala des Geodreiecks erkennen, auf der sich beide Winkelwerte stets zu 180 Grad ergänzen. Auch δ ist ein Nebenwinkel von α, zugleich aber auch ...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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Film: Schrägbilder

Geometrische Körper auf einem Blatt Papier so darzustellen, dass das Auge sie auch als solche erkennt, ist nicht unkompliziert. Im Film wird gezeigt, dass man einen Würfel, den man auf Augenhöhe betrachtet, aufs Papier übertragen nur als Quadrat sieht. Um ihn räumlich darzustellen, muss man ihn aus der Kavalierperspektive zeichnen, also leicht seitlich und von oben. Es wird anhand des Beispiels des Würfels gezeigt, wie diese Zeichenart funktioniert: Man beginnt mit einem Quadrat als Grundfläche und zeichnet die Seitenlinien, die nach hinten wegführen, verkürzt und im Winkel von 45 Grad ein. Die Linien, die man nicht sehen kann, werden gestrich...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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Film: Punkte und Linien

Punkte und Linien sind einfache Formen der Geometrie. Anders als Punkte, die wir mit dem Stift aufs Papier setzen, haben geometrische Punkte keine Ausdehnung, ihr Durchmesser beträgt also Null. Sie werden mit Großbuchstaben bezeichnet und durch kleine Kreuze markiert, die mittels Linien verbunden werden können. Eine Linie zwischen zwei Punkten A und B wird Strecke genannt. Die Strecke hat eine Länge, nämlich den Abstand zwischen A und B, aber keine Breite: Sie besteht aus zahllosen geometrischen Punkten. Verlängert man sie über einen der Punkte hinaus, hat sie einen Anfangs-, aber keinen Endpunkt. Man nennt sie nun Strahl, und sie ist unendlich lang. V...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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Film: Spiegelungen im kartesischen Koordinatensystem

Die Spiegelung im kartesischen Koordinatensystem wird zunächst an einem Punkt A demonstriert, der im ersten Quadranten liegt. Die Spiegelung wird an der y-Achse vorgenommen, und es wird gezeigt, wie das funktioniert. Der Spiegelpunkt A' hat denselben Abstand zur y-Achse wie der Punkt A, allerdings liegt er im zweiten Quadranten, und der x-Wert hat denselben Betrag wie bei A, aber ein anderes Vorzeichen.Es wird festgestellt, dass bei Spiegelungen an der y-Achse stets der y-Wert gleich bleibt und sich beim x-Wert das Vorzeichen ändert. Umgekehrt bleibt bei Spiegelungen an der x-Achse der x-Wert gleich und das Vorzeichen des y-Werts ändert sich. Es wird gezeigt, was bei Spiege...hier weiterlesen

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Film: Verschiebungen im kartesischen Koordinatensystem

Geometrische Formen können im kartesischen Koordinatensystem verschoben werden. Zunächst wird im Film gezeigt, wie man einen einzelnen Punkt verschiebt. Dafür wird der Begriff des Vektors erläutert und gezeigt, wie man seinen Wert angibt. Der Punkt wird auf der x-Achse um sieben Einheiten nach rechts verschoben, bleibt aber auf derselben Höhe der y-Achse.Man kann geometrische Formen aber auch nach links, oben und unten verschieben. Ist bei der Verschiebung nach rechts der x-Wert höher, liegt er bei der Verschiebung nach links niedriger. Eine Verschiebung nach oben bedeutet einen höheren y-Wert, nach unten einen niedrigeren. Bei der Verschiebung geometris...hier weiterlesen

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Film: Dreiecke - Arten, Winkel, Umfang, Fläche

Ein Dreieck besteht aus drei Punkten ABC und den sie verbindenden Geraden. Der Film erläutert seine mathematisch korrekte Lage und Bezeichnung. Die Winkel α, β und γ sowie die drei Seiten a, b und c werden vorgestellt. Jeder Winkel im Dreieck muss größer sein als 0 und kleiner als 180 Grad. Die kürzeste Seite liegt dem kleinsten Winkel gegenüber. Die Dreiecksungleichung wird angegeben. Weitere Themen des Films sind stumpfe, spitze und rechte Winkel und die Hypotenuse sowie die Katheten im rechtwinkligen Dreieck. Gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke werden erwähnt. Es wird gezeigt, wie man den Umfang eines Dreiecks errechnet und wie d...hier weiterlesen

Produktion: 2017

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Film: Winkelarten

Schneiden sich zwei Geraden, entsteht der Scheitelpunkt. An ihm entstehen durch die sich kreuzenden Geraden vier Winkel. Die Geraden werden als Schenkel oder Seiten bezeichnet. Als Scheitelwinkel werden die jeweils gegenüberliegenden Winkel bezeichnet, die immer gleich groß sind. Zwei nebeneinanderliegende Winkel am Scheitelpunkt werden Nebenwinkel genannt. Zusammengerechnet haben sie stets 180 Grad. Der Film erläutert den Nullwinkel, den Vollwinkel und all die Winkelarten, die von der Größe her dazwischen liegen. Bei mehr als Null, aber unter 90 Grad spricht man vom spitzen Winkel. Bei genau 90 Grad entsteht der rechte Winkel, bei mehr als 90 und weniger als 18...hier weiterlesen

Produktion: 2014

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