Unterrichtsmaterial: Mathematik

Film: Wachstum - exponentiell

Um das exponentielle Wachstum zu verdeutlichen, erzählt der Film die Legende von Buddhiram, der von seinem König als Belohnung so viele Reiskörner verlangte, wie auf einem Schachbrett lägen, wenn im ersten Feld eines, im zweiten zwei, im dritten vier und in allen weiteren jeweils doppelt so viele platziert würden wie im vorangegangenen.Es wird erklärt, was es mit der rekursiven und mit der expliziten Funktionsgleichung auf sich hat. Die Zuschauer erfahren, dass es auch ein negatives exponentielles Wachstum gibt, und bekommen für das positive und das negative Wachstum Alltagsbeispiele geliefert. Die drei Wachstumsmodelle des linearen, des quadratischen un...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Film: Logarithmus

Im Jahr 1614 entwickelte der schottische Mathematiker John Napier den Logarithmus als Rechenhilfsmittel. Andere Mathematiker wie Henry Briggs entwickelten die Regel rasch weiter. Der Film erklärt den Unterschied zwischen dem Napierschen oder Natürlichen Logarithmus (ln) und dem Briggschen oder Dekadischen Logarithmus (lg). Anhand verschiedener Beispiele erklärt der Film, wie man mit dem Logarithmus aus Wert und Basis einer Potenz ihren Exponenten berechnen kann. Um zwei Zahlen zu multiplizieren, addiert man ihre Exponenten. Um sie zu dividieren, subtrahiert man ihre Exponenten. Um eine Zahl zu potenzieren, multipliziert man ihren Logarithmus mit dem Exponenten. Der Film nen...hier weiterlesen

Produktion: 2020

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Film: Zinseszins

Wer spart, bekommt Zinsen. Bleiben diese Zinsen auf dem Konto, erhöhen sie das Kapital und werden im folgenden Jahr mit verzinst. Das ist der Zinseszins. Der Film zeigt anhand unterschiedlicher Beispiele, wie der Zinseszins sich vor allem bei längeren Laufzeiten stark bemerkbar macht: Der zugehörige Graph ist nicht linear, es handelt sich um ein exponentielles Wachstum. Es wird am Beispiel des Wertverlustes eines Autos gezeigt, dass es sich mit einem negativen Zinssatz genauso verhält. Der Film erklärt, mit welcher Formel man das verzinste Kapital errechnen kann, das man unter gegebenen Voraussetzungen zu einem bestimmten Zeitpunkt erhält. Die Formel funktion...hier weiterlesen

Produktion: 2019

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Film: Dreieck - besondere Linien und Punkte im Dreieck

Es gibt Linien in allen Dreiecken, die besondere Erkenntnisse vermitteln. Der Film nennt die Seitenhalbierende, die Höhe des Dreiecks, die Mittelsenkrechte, die Winkelhalbierende und die Mittellinie. Es wird erläutert, wo und wie diese Linien verlaufen. Bestimmte Punkte entscheiden über ihre Lage im Dreieck. Der Schwerpunkt des Dreiecks zum Beispiel ist der Schnittpunkt aller Seitenhalbierenden. Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten, und der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Im Film wird erläutert, wie man die Fläche des Dreiecks berechnen kann, wenn man die Höhe und die Abhängigkeit der Mittellinien von der nicht i...hier weiterlesen

Produktion: 2014

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Film: Dreiecke - Arten, Winkel, Umfang, Fläche

Liegen drei Punkte nicht auf einer Linie und sind durch drei Geraden verbunden, spricht man von einem Dreieck. Die Benennung der Eckpunkte erfolgt in Großbuchstaben. Sie beginnt in der unteren linken Ecke und verläuft gegen den Uhrzeigersinn. Die Seiten werden mit Kleinbuchstaben gekennzeichnet. Dabei wird jeweils der Buchstabe in klein verwendet, der in groß die gegenüberliegende Ecke bezeichnet. Es gibt gleichseitige, gleichschenklige und ungleichseitige Dreiecke. Bei ihnen allen beträgt die Summe der Innenwinkel 180 Grad, ihre Art aber verändert sich nach Art des Dreiecks: Drei Winkel von 60 Grad treten beim gleichseitigen Dreieck auf. Das gleichschenklige Dreieck hat zwei Innenwinkel,...hier weiterlesen

Produktion: 2014

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Film: Satz des Pythagoras

Alle Dreiecke bestehen aus je einer Hypotenuse, einer Ankathete und einer Gegenkathete, also aus den drei Seiten a, b, und c. Jede dieser Seiten hat eine bestimmte Länge. Diese Seitenlängen können zueinander in Verbindung gesetzt werden, wenn man den Satz des Pythagoras nutzt: a²+b²=c². Rechnet man also die Quadrate von a und b zusammen, sind sie so groß wie das von c. Anders ausgedrückt sind die Quadrate von Ankathete und Gegenkathete so groß wie das der Hypotenuse, wie man geometrisch beweisen kann. Der Satz des Pythagoras kann auf unterschiedliche Arten bewiesen werden, von denen der Film zwei demonstriert. Für einen solchen Beweis muss man nicht unbedingt Quadrate benutzen, wie eindru...hier weiterlesen

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Film: Satz des Thales

In rechtwinkligen Dreiecken gibt es bestimmte Sachverhalte, die immer gleich sind, wie der Satz des Thales sagt. Im Film wird der Beweis geführt mit einer Geraden, die von einem Halbkreis doppelt geschnitten wird. Benennt man die beiden Schnittpunkte als Punkte A und B eines Dreiecks und wählt einen beliebigen Punkt C auf dem Halbkreis, so entsteht hier immer ein rechter Winkel. Ob der Punkt mittig oder mehr zu einem der Ränder hin gewählt wird, ist egal. Dieser Halbkreis ist der Thaleskreis. Wird ein Punkt C abseits davon gewählt, hat der dazugehörige Winkel niemals 90 Grad, was im Film unter Beweis gestellt wird. Ein rechtwinkliges Dreieck kann auch gleichschenklig sein, muss es aber ni...hier weiterlesen

Produktion: 2014

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Film: Vierecke

Es gibt bestimmte Eigenschaften, die allen Vierecken gemein ist. Beispielsweise beträgt ihre Winkelsumme immer 360 Grad. Die Figuren haben alle stets vier Seiten, vier Ecken und vier Winkel. Der Film stellt die verschiedenen Formen von Vierecken vor. Er erklärt dabei die Erkennungszeichen der jeweiligen besonderen Form. Hat ein Viereck vier gleich Seiten und vier rechte Winkel, ist es ein Quadrat. Ein Rechteck hat vier rechte Winkel und zwei mal zwei gleiche Seiten. Ein Parallelogramm weist zwei mal zwei gleiche Winkel und zwei mal zwei gleiche Seiten auf. Die Raute hat vier gleiche Seite und zwei mal zwei gleiche Winkel, von denen jeweils die gleich groß sind, die sich gegenüber liegen. ...hier weiterlesen

Produktion: 2014

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Film: Cosinus

In der Trigonometrie kann man mit dem Cosinus die Beziehungen zwischen den Seiten und den Winkeln eines Dreiecks darstellen. Ist das Dreieck rechtwinklig, liegt die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden übrigen Seiten sind die Ankathete und die Gegenkathete. Man kann das Seitenverhältnis der Hypotenuse zur Ankathete oder zur Gegenkathete in Abhängigkeit des zwischen ihnen liegenden Winkels messen, indem man den Cosinus verwendet. Dies wird an einem Beispiel demonstriert, für das die Ankathete (b), die Hypotenuse (c) und der Winkel (C) verwendet werden: Dabei entspricht der Quotient von (b) und (c) dem Cosinus von (C). Sind also nur zwei dieser Größen bekannt, kann man das Dr...hier weiterlesen

Produktion: 2014

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Film: Arithmetisches Mittel, Median, Quartile

Statistische Daten können mit unterschiedlichen Methoden beschrieben werden. Der Film stellt das arithmetische Mittel, den Median und die Quartile vor. Man bildet das arithmetische Mittel, indem man die Summe aller erhobenen Werte durch ihre Anzahl teilt. Gibt es aber sogenannte Ausreißer, also stark abweichende Einzeldaten, ist das arithmetische Mittel keine geeignete Methode, um einen repräsentativen Durchschnittwert zu errechnen.Streicht man aus einer Werteaufstellung jeweils den höchsten und den niedrigsten Wert, bis nur noch einer bleibt, ist das der Median. Bleiben zwei Werte, bildet man für den Median aus ihnen das arithmetische Mittel. Die Mediane jeweils...hier weiterlesen

Produktion: 2014

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Film: Statistik - Grundlagen

Überall im Alltag begegnen uns Statistiken, etwa in Zeitungen und in den Nachrichten, aber auch bei den Noten für Klassenarbeiten in der Schule. Der Film zeigt anhand mehrerer lebensnaher Beispiele, wie durch Befragung, Messung oder Beobachtung erhobene Daten mit verschiedenen Methoden übersichtlich und aussagekräftig zusammengefasst werden können.Die Daten können tabellarisch und grafisch angelegt werden. Es wird gezeigt, wie ihr Durchschnitt errechnet wird. Dieser berücksichtigt aber nicht die Variationsbreite der Daten. Um sie zu erfassen, braucht man Maße für die Streuung, etwa die Spannweite, also die Differenz zwischen größtem...hier weiterlesen

Produktion: 2014

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Film: Bernoulli-Prozesse

Zufallsversuche mit zwei möglichen Ausgängen nennt man Bernoulli-Prozesse. Man spricht beim Ergebnis von Erfolg und Misserfolg, Treffer und Niete oder Eins und Null. Im Film wird ein Münzwurf als Beispiel herangezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Versuch ein bestimmtes Ergebnis herauskommt, beträgt immer die Zahl der Erfolgsfälle, hier also 1, durch die Zahl der möglichen Fälle, hier also 2.Bei mehrfachen Versuchen spricht man von der Bernoulli-Kette. Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass bei einer n-stufigen Kette k Treffer erzielt werden, stellt der Film das Galton-Brett und seine grafische Entsprechung, das Baumdiagramm, vor....hier weiterlesen

Produktion: 2014

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Film: Winkelarten

Schneiden sich zwei Geraden, entsteht der Scheitelpunkt. An ihm entstehen durch die sich kreuzenden Geraden vier Winkel. Die Geraden werden als Schenkel oder Seiten bezeichnet. Als Scheitelwinkel werden die jeweils gegenüberliegenden Winkel bezeichnet, die immer gleich groß sind. Zwei nebeneinanderliegende Winkel am Scheitelpunkt werden Nebenwinkel genannt. Zusammengerechnet haben sie stets 180 Grad. Der Film erläutert den Nullwinkel, den Vollwinkel und all die Winkelarten, die von der Größe her dazwischen liegen. Bei mehr als Null, aber unter 90 Grad spricht man vom spitzen Winkel. Bei genau 90 Grad entsteht der rechte Winkel, bei mehr als 90 und weniger als 18...hier weiterlesen

Produktion: 2014

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Film: Sphärische Geometrie und geografische Ortsbestimmung

Zwei zentrale Themen der Fächer Geografie und Mathematik Dieser interessante und hochaktuelle Film verbindet zwei zentrale Themen der Fächer Geografie und Mathematik. Mit Hilfe von Realaufnahmen, Grafiken und Computeranimationen werden, sachlogisch aufbauend, die folgenden Inhaltsschwerpunkte anschaulich dargestellt und erörtert. Inhaltsschwerpunkte:- Geometrie von Kreis und Kugel- Großkreis und Kleinkreis- Breitengrade und Längengrade (Meridiane)- Gitternetz (regional) und Gradnetz (global)- Koordinaten, Nullmeridian, Äquator- Berechnungen Kilometer, Grad, Minute, Sekunde- Berechnung der Bogenlänge - Navigation- Bestimmung des Erdumfangs - Eratosthene...hier weiterlesen

Produktion: 2003

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Film: Integral- und Differentialrechnung

Im Mittelpunkt dieser didaktischen DVD steht ein Unterrichtsfilm, der mit Humor, geschichtlichen Bezügen (Ägypter, Griechen, Archimedes, Newton, Leibniz) und einem aktuellen Anwendungsbeispiel das Thema Integral- und Differentialrechnung anschaulich und interessant beleuchtet. Schwerpunkt des Films ist die visuelle Erläuterung des Zusammenhangs von Integrieren und Ableiten am Beispiel der Weg-Zeit-Funktion, der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion und der Beschleunigungs-Zeit-Funktion. Durch ein interaktives Applet kann der Zusammenhang von Integrieren und Differenzieren wiederholt, vertieft und individuell erprobt werden, um den Verstehensprozess zu fördern und Grundwissen ...hier weiterlesen

Produktion: 2010

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Film: Brüche - Grundlagen

Eine gebrochene Zahl nennt man Bruch. Sie ist nicht kaputt, man kann mit ihr noch arbeiten. Wenn man eine Zahl in gleiche Teile teilt, spricht man von einer Division. Das Ergebnis dieser Division ist der Quotient. Teilt man eine kleine Zahl durch eine größere und schreibt sie mit einem Bruchstrich untereinander, ist der Bruch gleichzeitig das Ergebnis der Division: Eins durch fünf etwa ist ein Fünftel, bzw. 1/5.Der Strich in der Mitte ist der Bruchstrich. Darüber steht der Zähler des Bruchs, er zeigt an, wie viele Teile er hat. Unter dem Strich steht der Nenner. Nach ihm ist der Bruch benannt. Im Beispiel steht dort die Fünf, also handelt es sich um F&u...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Film: Brüche addieren und subtrahieren

Brüche mit ungleichnamigem Nenner kann man zuerst weder addieren noch subtrahieren. Man kann sie allerdings erweitern, bis ihre Nenner gleichnamig sind. Im gezeigten Beispiel geht es um 3/5 und 2/3. Die beiden Brüche werden erweitert, indem jeweils Zähler und Nenner mit dem Nenner des anderen Bruchs multipliziert werden. So kommt man hier auf 9/15 plus 10/15, also 19/15 oder 1 4/15.In einem weiteren Beispiel wird gezeigt, wie von der Summe zweier erweiterter Brüche ein anderer Bruch abgezogen werden kann. Dafür werden zwei Lösungswege vorgestellt: Im ersten werden wiederum beide Brüche erweitert, und das Endergebnis muss gekürzt werden. Im zweiten, ...hier weiterlesen

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Film: Brüche dividieren

Der Film zeigt, wie man Brüche dividieren kann. Es wird eine Aufgabe gestellt, in der 7 1/2 durch 3/10 geteilt werden soll. Zunächst wird die gemischte Zahl in den Bruch 15/2 verwandelt. Dann wird daran erinnert, dass man mit einer umgekehrten Multiplikation das Ergebnis einer Division überprüfen kann. Es wird gezeigt, dass es bei Brüchen ähnlich ist: Für die Division zweier Brüche multipliziert man den Kehrwert des zweiten mit dem ersten Bruch.Der Film demonstriert anhand verschiedener Rechnungen die notwendigen Lösungsschritte: Ein Bruch wird mit einer Zahl multipliziert, indem man sie mit dem Zähler multipliziert, während der Nenne...hier weiterlesen

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Film: Brüche erweitern und kürzen

Man kann Brüche beliebig erweitern, indem man ihren Zähler und Nenner mit ein und derselben Zahl multipliziert. Die Zahlen werden dadurch größer, während der Bruch seine Wertigkeit behält: 3/15 sind ebenso viel wie 1/5. Man erweitert Brüche zum Beispiel, um sie vergleichen zu können oder um zwei ungleichnamige Brüche gleichnamig zu machen: Dann kann man sie nämlich addieren und subtrahieren, dividieren und multiplizieren.Am Ende der Rechnung kann man überprüfen, ob man den Bruch, den man als Ergebnis erhalten hat, noch kürzen kann. Dafür prüft man, durch welche Zahl sowohl der Zähler als auch der Nenner teilb...hier weiterlesen

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Film: Brüche multiplizieren

Der Film zeigt an Alltagsbeispielen, warum es manchmal sinnvoll ist, Brüche zu multiplizieren. Mit ganzen Zahlen geschieht das, indem man die Zahl mit dem Zähler multipliziert und den Nenner so lässt, wie er ist. 1/3 mal 5 also ergibt 5/3. Möchte man zwei Stammbrüche miteinander multiplizieren, also zwei Brüche, deren beide Zähler 1 sind, werden ihre Nenner miteinander multipliziert.Zwei Brüche, die einen anderen Zähler als 1 haben, multipliziert man, indem man jeweils die Zähler und Nenner miteinander multipliziert und dazwischen einen Bruchstrich zieht. Bei dieser Methode erhält man schnell sehr große Zahlen. Um dabei nicht de...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Film: Dezimalbrüche

Dezimalbrüche sind Dezimalzahlen, die ein Komma enthalten. Der Film erklärt, was genau Dezimalzahlen sind, und zeigt, dass die Zahlen sich jeweils verzehnfachen, wenn man sie um eine Stelle nach links verschiebt und eine Null einfügt. Entsprechend haben sie nur noch ein Zehntel des Werts, wenn man die Zahl um eine Stelle nach rechts verschiebt. Das geht auch, wenn vor dem Komma eine Null steht.Um eine Dezimalzahl in einen Bruch umzurechnen, schreibt man über den Bruchstrich alle Ziffern der Dezimalzahl ohne Komma und darunter eine Eins und die Anzahl der Stellen hinter dem Komma. 0,25 zum Beispiel ergibt so 25/100 beziehungsweise gekürzt ¼. Es werden die wi...hier weiterlesen

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Film: Dezimalsystem

Dank des Dezimalsystems können wir mit sehr großen Zahlen unkompliziert rechnen. Der Film zeigt einige frühere Rechen- und Zählsysteme wie das der Babylonier und Ägypter, ehe er auf die Erfindung des Dezimalsystems durch die Chinesen und Inder zu sprechen kommt. Er erklärt den genialen Trick des Verschiebens einer Ziffer um eine Stelle nach links, um den nächsthöheren Dezimalwert anzugeben.Die Darstellung einer Leerstelle war ungeklärt, bis die Null sich durchsetzte. Die Inder hatten bereits einen kleinen Kreis geschrieben, doch dank abergläubischer Furcht hatte er sich lange nicht etabliert. Im Jahr 825 schließlich schrieb ein arab...hier weiterlesen

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Film: Dezimalzahlen dividieren

Um einen Dezimalbruch durch einen anderen Dezimalbruch zu teilen, wandelt man sie beide erst in Brüche um. Dann bildet man den Kehrwert des zweiten Bruchs und multipliziert den ersten Bruch mit ihm. Beim Kürzen sieht man, dass man die Divisionsaufgabe ohne Komma erhalten hat. Und es zeigt sich, dass auch Dezimalzahlen erweiterbar sind wie Brüche.Durch die Multiplikation mit 10 bei Dividend und Divisor gleichzeitig verschiebt man das Komma so lange nach rechts, bis beim Divisor keines mehr steht. Das ist die gleichsinnige Kommaverschiebung. Erreicht man in der Rechnung das Komma im Dividenden, setzt man auch im Ergebnis eines. Es wird gezeigt, wie man durch die schriftliche ...hier weiterlesen

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Film: Grundlagen des Rechnens mit Dezimalzahlen

Wer zwei Dezimalbrüche addieren möchte, kann sie in unechte gleichnamige Brüche umwandeln oder sie alternativ untereinanderschreiben und Stelle für Stelle addieren. Dabei muss darauf geachtet werden, dass die Kommata immer genau untereinander stehen. Die Subtraktion zweier Dezimalbrüche funktioniert nach demselben Prinzip. Die Multiplikation eines Dezimalbruchs mit Zehnerpotenzen ist besonders einfach: Man verschiebt das Komma um so viele Stellen nach rechts, wie die Zehnerpotenz Nullen hat. Entsprechend ist es bei der Division: Hier wandert das Komma nach links. Wer zwei Dezimalzahlen multiplizieren möchte, wandelt sie in unechte Brüche um und multipliz...hier weiterlesen

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Film: Rechengesetze

Der Film stellt die Rechengesetze Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz vor. Der Name Kommutativgesetz leitet sich vom lateinischen Wort für Tauschen her. Das Gesetz besagt, dass Summanden bei einer Addition und Faktoren bei einer Multiplikation vertauscht werden dürfen, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Die entsprechenden Formeln werden gezeigt.Auf ähnliche Weise werden das Assoziativgesetz bzw. Klammergesetz und das Distributivgesetz erläutert. Ersteres besagt, dass Summanden oder Faktoren beliebig mit Klammern verbunden werden können, Letzteres, dass Multiplikation vor Addition geht oder, wie man in der Schule sagt, Punktrechnung vor S...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Film: Signifikanz und Irrtumswahrscheinlichkeit

Möchte ein Unternehmen vor Beginn der Produktion eines Gegenstands herausfinden, ob überhaupt Interesse daran besteht, muss es Umfragen durchführen. Da man aber nicht alle potenziellen Käufer, also die Grundgesamtheit, befragen kann, wählt man nur einen kleinen Teil aus, nimmt also eine Stichprobe. Diese kann natürlich ein verfälschtes Ergebnis hervorbringen: Der Film erklärt die Grundprobleme der beurteilenden Statistik.Es wird ein fiktives Beispiel vorgestellt und erklärt, dass die beschreibende Statistik und Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung zur beurteilenden Statistik herangezogen werden. Im Film wird der Bernoulli-Prozess erläu...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Film: Statistische Erhebung

Um Daten für eine statistische Erhebung zu sammeln, kann man messen, zählen oder befragen - je nachdem, was man herausfinden möchte. Alle Messungen müssen auf dieselbe Art durchgeführt werden, und bei Umfragen muss es eine festgelegte Fragestellung geben, da sonst die Ergebnisse nicht vergleichbar sind. Man spricht hier von der Standardisierung. Es gibt sie für viele verschiedene Arten von Fragen.Durch die Standardisierung ist es möglich, die Ergebnisse in Diagrammen grafisch darzustellen. Allerdings ist es wichtig, die richtige Form von Diagramm für das Thema zu finden. Der Film stellt verschiedene Arten von Diagrammen vor und zeigt, wie passend od...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Film: Wachstum - Grenzen

Für die Erklärung des begrenzten Wachstums gibt der Film das Beispiel einer fiktiven Firma, die ein Mobiltelefon auf den Markt bringt. Es wird prognostiziert, dass in einer bestimmten Gegend 30.000 Stück davon verkauft werden. Allein in der ersten Woche sind es schon 9.000 - aber das ist kein Grund, die Erwartungen nach oben zu regulieren: Es werden Woche für Woche weniger Telefone verkauft, und die Zahl der potenziellen Käufer nimmt stetig ab.Schließlich ist der Markt komplett gesättigt, sodass es gar keine Verkäufe mehr gibt. Stellt man diesen Vorgang grafisch dar, sieht man, dass eine bestimmte Grenze oder Schranke nicht überschritten wird....hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Film: Wachstum - Begriff

Von Wachstum spricht man, wenn eine bestimmte Größe mit der Zeit zunimmt. Nimmt sie ab, handelt es sich um ein negatives Wachstum. Stellt man ein Wachstum grafisch dar, zeigt ein aufsteigender Graph ein positives und ein absteigender Graph ein negatives Wachstum an. Ist die Linie gerade, handelt es sich um ein lineares Wachstum.Der Film demonstriert die rekursive und die explizite Möglichkeit zur Beschreibung der zugrunde liegenden Wachstumsfunktion. Es wird die allgemeine explizite Beschreibung einer linearen Wachstumsfunktion gegeben: f(x) = a · x + a0. a0 steht hier für den Anfangswert. Hat a einen positiven Wert, ist auch das Wachstum positiv. Ist der Wert ...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Film: Wachstum - logistisch

Bei der Zahlengeraden handelt es sich um ein mathematisches Hilfsmittel, das zur Veranschaulichung von Eigenschaften der Zahlen nützlich ist. Ihr Ursprung ist der Punkt 0. Die von hier nach rechts laufende Linie ist theoretisch endlos, was durch einen kleinen Pfeil verdeutlicht wird. Man zeichnet kurze senkrechte Striche in regelmäßigen Abständen durch die Linie, benennt sie mit aufsteigenden natürlichen Zahlen und erhält einen Zahlenstrahl.Eine weitere Linie wird nach links gezogen. Auch sie wird mit Strichen versehen, die mit negativen absteigenden Zahlen nummeriert werden. Nun handelt es sich um eine Zahlengerade. Der Film demonstriert, wie man davon math...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Film: Zahlengerade

Bei der Zahlengeraden handelt es sich um ein mathematisches Hilfsmittel, das zur Veranschaulichung von Eigenschaften der Zahlen nützlich ist. Ihr Ursprung ist der Punkt 0. Die von hier nach rechts laufende Linie ist theoretisch endlos, was durch einen kleinen Pfeil verdeutlicht wird. Man zeichnet kurze senkrechte Striche in regelmäßigen Abständen durch die Linie, benennt sie mit aufsteigenden natürlichen Zahlen und erhält einen Zahlenstrahl.Eine weitere Linie wird nach links gezogen. Auch sie wird mit Strichen versehen, die mit negativen absteigenden Zahlen nummeriert werden. Nun handelt es sich um eine Zahlengerade. Der Film demonstriert, wie man davon math...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Film: Zufall und Repräsentativität

Eine Wahlprognose basiert auf einer Stichprobe - man kann dafür ja nicht gut alle Wahlberechtigten im Vorfeld befragen. Die Stichprobe muss so ausgewählt werden, dass möglichst keine Fehler das Gesamtergebnis verzerren. Wie leicht das passieren kann, zeigt der Film anhand eines Beispiels aus der Schule. Der Begriff der Irrtumswahrscheinlichkeit wird erklärt.Eine repräsentative Stichprobe muss zufällig gewählt werden, damit weder Geschmack noch Willkür noch unbewusste Entscheidungen hineinspielen. Bei der Wahlprognose allerdings wird die Stichprobe wegen der sehr breit gefächerten Grundgesamtheit in mehrere Schichten zerlegt, aus denen dann die ...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Film: Römische Zahlen

Der Film erklärt die Entwicklung der römischen Zahlen und zeigt, dass die Vorläufer bereits vor über 5000 Jahren existiert haben. Er erklärt, woher die Zahlreichen I, V und X für 1, 5 und 10 kommen und wie später im Römischen Reich das L für 50, das C für 100, das D für 500 und das M für 1000 hinzukamen. Die größte Zahl steht stets links, rechts daneben nimmt die Größe der Zahlen immer mehr ab.Da römische Zahlen heute noch vielfach verwendet werden, hilft es, wenn man sie lesen und in unser Zahlensystem übertragen kann. Der Film erklärt, dass die Zahl vierstellig ist, wenn ein M vorne steht, d...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Film: Bruchrechnung, Dreisatz, Prozent- und Zinsrechnung

Warum Mathe lernen? Unsere ON! DVD zeigt, wo Bruchrechnung, Dreisatz, Prozent- und Zinsrechnung praktische Anwendung im täglichen Leben finden. Beim Einkauf, in der Ausbildung, im Studium - Mathe lernen lohnt sich! Come ON! - Reportage / Film: Ein Koch, eine Tiermedizinerin, ein Bürokaufmann, ein Kfz-Mechatroniker - in unserer ON! Reportage zeigen vier junge Leute, wie sie Mathematik ganz praktisch in ihrer Ausbildung einsetzen müssen, um alltägliche Aufgaben zu lösen. Sie zeigen uns, warum Mathe lernen clever ist! (11 Min) Check ON! - Grafisch animierte Erklärfilme: - Bruchrechnung (2 Min) - Dreisatz (2 Min) - Prozentrechnung (2 Min) - Zinsrechnung (2 Min) ...hier weiterlesen

Produktion: 2008

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Film: Beziehungen zwischen Punkten und Linien

Die vielfältigen Beziehungen zwischen Linien und Punkten sind als Grundlagen für die geometrische Konstruktion besonders wichtig. Der Film erklärt, dass der Abstand zwischen zwei Punkten immer die Länge der kürzesten Verbindung zwischen ihnen ist. Außerdem wird gezeigt, dass ein Punkt immer entweder auf einer bestimmten Geraden (Abstand = 0) oder nicht darauf liegt. Möchte man den Abstand von einem nicht auf der Geraden liegenden Punkt zu ihr messen, wählt man die Verbindung, die im rechten Winkel auftrifft: Es ist die kürzeste. Außerdem werden zwei Geraden betrachtet, die sich überschneiden und so einen Schnittpunkt bilden, und so...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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Film: Dreisatz und zusammengesetzte Zuordnung

Der Dreisatz ist in vielen verschiedenen Alltagssituationen hilfreich, etwa, wenn man die Zutaten für ein Rezept für eine andere als die angegebene Personenzahl berechnen möchte. Im Film wird gezeigt, dass für diese Art von Rechnung immer drei Zahlen gesetzt sind (daher auch der Name), während man die vierte herausfinden muss. Es werden zwei verschiedene Beispiele genannt. Im ersten Beispiel gilt die proportionale Zuordnung nach dem Motto 'je mehr, desto mehr', im Zweiten die antiproportionale Zuordnung 'je mehr, desto weniger'. Es wird gezeigt, dass es für die Berechnung wichtig ist, die Zuordnung zu kennen. Die Beispiele werden durchgerechnet, und dann wir...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Film: Flächeninhalte von Vierecken

Im Film werden verschiedene Arten von Vielecken vorgestellt, nämlich der Drachen, das Trapez, das Parallelogramm und seine Sonderform, die Raute, außerdem das Rechteck und das Quadrat. Es wird erklärt, dass ein Quadrat mit einem Meter Seitenlänge einen Flächeninhalt von einem Quadratmeter hat. Für die Berechnungen im Film werden aber Zentimeter und Quadratzentimeter genutzt. Ein Rechteck wird für die Berechnung des Flächeninhalts in Quadrate zerlegt. Allgemein lässt sich für Rechtecke sagen, dass der Flächeninhalt das Produkt der Seitenlängen (a x b) ist. Es wird gezeigt, dass man beim Parallelogramm und bei der Raute anders vo...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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Film: Geodreieck

Das Geodreieck ist eines der wichtigsten Hilfsmittel für den Mathematikunterricht in der Schule. Es hat die Form eines rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreiecks und verfügt an der Hypotenuse über ein Lineal. Der Mittelpunkt ist die Null, und in beide Richtungen werden die Zahlen größer. Das erleichtert es, den Mittelpunkt einer Geraden festzustellen. Im Film werden einige praktische Tipps zur Handhabung des Geodreiecks beim Zeichnen von Linien gegeben. Die Linie, die von der Null aus zur Spitze des Dreiecks verläuft, ist ein rechter Winkel. Es wird gezeigt, wie man neben diesem auch alle anderen Winkel mit dem Geodreieck messen und zeichnen kann und dass m...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Film: Geometrie des Kreises

Der Kreis hat von jeher für Menschen eine besondere Bedeutung als vollkommene mathematische Figur. Er wird in der Kunst, im Handwerk und in der Technik vielfach verwendet und wurde auch für magische Zwecke eingesetzt. Der Film stellt den Zirkel vor, der das Zeichnen eines Kreises erlaubt, und erläutert seine Rolle als Teil des nautischen Bestecks für die frühe Seefahrt. Ein Kreis besteht aus einem Mittelpunkt und einer Kreislinie. Alle Punkte, die auf der Kreislinie liegen, sind genau gleich weit vom Mittelpunkt entfernt. Der Abstand zwischen der Kreislinie und dem Mittelpunkt heißt Radius, und die Gerade, die von einer Seite der Kreislinie zur anderen durc...hier weiterlesen

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Film: Große Zahlen

Wirklich großen Zahlen begegnen wir im Alltag recht häufig, auch wenn uns das kaum auffällt. Ein gutes Beispiel dafür sind etwa Speichermedien, die mehrere Gigabyte umfassen. Im Film wird verdeutlicht, wie sehr große Zahlen aufgebaut sind, wie ihre Ordnung ist und welche Abkürzungen man verwendet, um mit ihnen umzugehen. Die Benutzung der Stellentafel wird erläutert: Nach drei Stellen, die also für Zahlen bis zur 999 reichen, wird ein Punkt eingefügt, ehe die nächste Stelle vorangesetzt wird. Dieser Punkt bezeichnet die Tausend. Nach weiteren drei Stellen folgt der nächste Punkt, die Million. So geht es weiter über die Milliar...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Film: Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches

Möchte man Brüche addieren, geht das problemlos, solange sie denselben Nenner haben. Bei verschiedenen Nennern jedoch müssen sie so erweitert werden, bis sie schließlich gleich heißen. Das funktioniert immer, indem man die Nenner miteinander multipliziert, allerdings entstehen so schnell sehr große Zahlen, die dann später gekürzt werden müssen. Es wird gezeigt, wie man das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Nenner findet - also die kleinste Zahl, um die man sie erweitern muss. Dafür werden beide Nenner in die Primfaktoren zerlegt und die mit den größten Exponenten multipliziert. Das Ergebnis ist das kgV. Große ...hier weiterlesen

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Film: Kartesisches Koordinatensystem

Durch die Erfindung des Kartesischen Koordinatensystems sorgte René Descartes Anfang des 17. Jahrhunderts dafür, dass man erstmalig mit geometrischen Objekten auch rechnen konnte. Bis zu diesem Zeitpunkt waren Algebra und Geometrie deutlich voneinander getrennt. Er entwarf ein System, das dem Schachbrett nicht unähnlich war, auf dem die Positionen der Figuren durch Zahlen- und Buchstabenkombinationen angegeben werden. Der Film erklärt den Aufbau des Koordinatensystems aus x- und y-Achse mit ihrem Schnittpunkt, dem Ursprung oder Nullpunkt. Es wird gezeigt, wie man einzelne Punkte darin benennt. Dann wird die Erweiterung des Systems über den Ursprung hinaus erl&a...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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Film: Kongruenzsätze

Zwei geometrische Objekte sind dann kongruent, wenn sie in Form und Fläche übereinstimmen. Durch Drehungen, Spiegelungen und Verschiebungen kann man sie ohne Rest ineinander überführen. Im Film werden die verschiedenen Kongruenzsätze zu Dreiecken erklärt und jeweils überprüft. Die Kongruenzsätze lauten: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn zwei ihrer Seitenlängen und der zwischen ihnen eingeschlossene Winkel übereinstimmen (SWS). Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn alle drei Seitenlängen übereinstimmen (SSS). Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie an einer Seite und zwei Winkeln übereinstimmen (WSW, WWS, SWW). Zwei Dreiec...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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Film: Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

Auf dieselbe Art, wie es schon im alten Griechenland gehandhabt wurde, kann man auch heute noch ohne Zuhilfenahme eines Geodreiecks nur mittels Zirkel und Lineal die Mittelsenkrechte einer Geraden und die Winkelhalbierende bestimmen. Im Film wird anhand zweier Beispiele demonstriert, wie das funktioniert. Zunächst wird an der Endpunkten A und B einer Geraden mit dem Zirkel je ein Kreis um die Punkte herum gezogen. Der Radius ist gleich, und sie überschneiden sich. Eine Gerade, die durch die Schnittpunkte gezogen wird, bildet am Schnittpunkt mit der ursprünglichen Geraden einen rechten Winkel: Das ist die Mittelsenkrechte. Für die Winkelhalbierende wird zunächst v...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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Film: Negative Zahlen

Lange Zeit gab es keine negativen Zahlen: Auch große Mathematiker, unter anderem Blaise Pascal, wollten sie nicht anerkennen. Bei Rechnungen mit physischen Gegenständen macht es auch keinen Sinn, sie einzusetzen. Der Film weist aber auf einige Beispiele hin, bei denen das doch der Fall ist, etwa die Temperatur, bei der Fahrenheit erstmals in den negativen Bereich vorgedrungen ist, oder die Gewichtskraft. Anhand des Zahlenstrahls, den Descartes über die Null hinaus erweitert und so die negativen Zahlen bestimmbar gemacht hatte, werden einige Regeln für die Rechnung erklärt: Alle positiven Zahlen sind größer als Null, alle negativen kleiner. Daher ist a...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Film: Negative Zahlen addieren und subtrahieren

Negative Zahlen zu addieren und zu subtrahieren ist nicht schwierig, wenn man den Zahlenstrahl benutzt. Jede Zahl hat einen Betrag, für die positiven ist es die eigene Zahl, für die negativen die eigene Zahl ohne das Vorzeichen. Der Betrag von -5 ist also 5. Die Gegenzahl einer jeden Zahl ist die, die auf der anderen Seite des Zahlenstrahls von der Null gleich weit entfernt ist - also -3 für 3, -5 für 5 etc. Der Film erinnert an das Kommutativgesetz und zeigt, dass das Addieren negativer Zahlen ebenso abläuft wie das positiver, nur im negativen Bereich des Zahlenstrahls. Die Addition einer positiven und einer negativen Zahl erfolgt durch das Abziehen der kleinere...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Film: Negative Zahlen multiplizieren und dividieren

Wie man ganz einfach negative Zahlen multiplizieren und dividieren kann, erklärt dieser Film. Es werden Beispiele genannt, in denen man auch im Alltag mit negativen Zahlen zu tun bekommt, und dann wird mittels Zahlenstrahl daran erinnert, dass es sich bei einer Multiplikation um eine mehrfache Addition handelt. Dank des Kommutativgesetzes können die Faktoren bei der Multiplikation auch vertauscht werden. Im Zuge der Beispielrechnungen wird gezeigt, dass das Ergebnis einer Multiplikation negativ ist, wenn einer der Faktoren ein negatives Vorzeichen hat. Haben beide Faktoren das gleiche Vorzeichen, ist das Ergebnis positiv, ähnlich wie bei der doppelten Verneinung. Selbiges ...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Film: Netze

Eine regelmäßige geometrische Form mit Ecken und Kanten hat eine Grundfläche, das Netz, in das man diese Form gleichsam aufklappen kann - wie etwa die an einem Stück abgepellte Schale der Mandarine. Das Netz kann für einige Formen viele verschiedene Ausprägungen annehmen, für andere nur wenige. Es ist nur dann wirklich ein Netz, wenn sich die Form daraus in einem Guss wieder zusammenfügen lässt. Das Vorgehen wird im Film an einigen Beispielen demonstriert, etwa am Tetraeder oder an der vierseitigen quadratischen Pyramide. Eine andere Form von Netz zeigen hingegen Zylinder oder Kegel, die im Alltag relativ häufig Einsatz finden, etwa in F...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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Film: Primfaktorzerlegung

Eine Primzahl ist nur durch sich selbst und durch Eins teilbar. Viele Zahlen aber lassen sich durch mehrere andere Zahlen teilen. Man kann sie in ihre Primfaktoren zerlegen. Diese Zerlegung ist dann eindeutig, wenn alle Faktoren Primzahlen sind. Der Film zeigt dies anhand der Zahlen 12 und 48. Man beginnt die Zerlegung jeweils mit der Teilung der Ausgangszahl durch die kleinste Primzahl. Geht das nicht auf, wählt man die nächstgrößere. Endet die Zerlegung schließlich mit der letzten Primzahl, kann man beliebig viele der hier gefundenen Primfaktoren miteinander multiplizieren und erhält in jedem Fall eine Teilermenge der Ausgangszahl. Bei sehr großen ...hier weiterlesen

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Film: Primzahlen

Der Begriff Primzahlen stammt ab vom lateinischen Primus, was 'der Erste' heißt. Primzahlen sind nur durch sich selbst und durch Eins teilbar, und alle anderen Zahlen sind ihre Produkte. Die kleinste Primzahl ist die 2, eine größte gibt es nicht, da die Zahlen unendlich sind. Die größte bislang errechnete Primzahl hat mehr als 17 Millionen Stellen. Es wird am Beispiel der 13 gezeigt, wie man mit den Teilbarkeitsregeln überprüfen kann, ob eine Zahl eine Primzahl ist oder nicht: Es ist keine gerade Zahl, ihre Quersumme ist nicht durch 3 teilbar, sie endet nicht auf 5 oder 0. Da dieses Verfahren aber langwierig ist, wird im Film auch das Sieb des Eratos...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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