Lehrfilme: Geometrie

Film: Sphärische Geometrie und geografische Ortsbestimmung

Zwei zentrale Themen der Fächer Geografie und Mathematik Dieser interessante und hochaktuelle Film verbindet zwei zentrale Themen der Fächer Geografie und Mathematik. Mit Hilfe von Realaufnahmen, Grafiken und Computeranimationen werden, sachlogisch aufbauend, die folgenden Inhaltsschwerpunkte anschaulich dargestellt und erörtert. Inhaltsschwerpunkte:- Geometrie von Kreis und Kugel- Großkreis und Kleinkreis- Breitengrade und Längengrade (Meridiane)- Gitternetz (regional) und Gradnetz (global)- Koordinaten, Nullmeridian, Äquator- Berechnungen Kilometer, Grad, Minute, Sekunde- Berechnung der Bogenlänge - Navigation- Bestimmung des Erdumfangs - Eratosthene...hier weiterlesen

Produktion: 2003

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Film: Dreieck - besondere Linien und Punkte im Dreieck

Es gibt Linien in allen Dreiecken, die besondere Erkenntnisse vermitteln. Der Film nennt die Seitenhalbierende, die Höhe des Dreiecks, die Mittelsenkrechte, die Winkelhalbierende und die Mittellinie. Es wird erläutert, wo und wie diese Linien verlaufen. Bestimmte Punkte entscheiden über ihre Lage im Dreieck. Der Schwerpunkt des Dreiecks zum Beispiel ist der Schnittpunkt aller Seitenhalbierenden. Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten, und der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Im Film wird erläutert, wie man die Fläche des Dreiecks berechnen kann, wenn man die Höhe und die Abhängigkeit der Mittellinien von der nicht i...hier weiterlesen

Produktion: 2014

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Film: Dreiecke - Arten, Winkel, Umfang, Fläche

Liegen drei Punkte nicht auf einer Linie und sind durch drei Geraden verbunden, spricht man von einem Dreieck. Die Benennung der Eckpunkte erfolgt in Großbuchstaben. Sie beginnt in der unteren linken Ecke und verläuft gegen den Uhrzeigersinn. Die Seiten werden mit Kleinbuchstaben gekennzeichnet. Dabei wird jeweils der Buchstabe in klein verwendet, der in groß die gegenüberliegende Ecke bezeichnet. Es gibt gleichseitige, gleichschenklige und ungleichseitige Dreiecke. Bei ihnen allen beträgt die Summe der Innenwinkel 180 Grad, ihre Art aber verändert sich nach Art des Dreiecks: Drei Winkel von 60 Grad treten beim gleichseitigen Dreieck auf. Das gleichschenklige Dreieck hat zwei Innenwinkel,...hier weiterlesen

Produktion: 2014

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Film: Satz des Pythagoras

Alle Dreiecke bestehen aus je einer Hypotenuse, einer Ankathete und einer Gegenkathete, also aus den drei Seiten a, b, und c. Jede dieser Seiten hat eine bestimmte Länge. Diese Seitenlängen können zueinander in Verbindung gesetzt werden, wenn man den Satz des Pythagoras nutzt: a²+b²=c². Rechnet man also die Quadrate von a und b zusammen, sind sie so groß wie das von c. Anders ausgedrückt sind die Quadrate von Ankathete und Gegenkathete so groß wie das der Hypotenuse, wie man geometrisch beweisen kann. Der Satz des Pythagoras kann auf unterschiedliche Arten bewiesen werden, von denen der Film zwei demonstriert. Für einen solchen Beweis muss man nicht unbedingt Quadrate benutzen, wie eindru...hier weiterlesen

Produktion: 2014

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Film: Satz des Thales

In rechtwinkligen Dreiecken gibt es bestimmte Sachverhalte, die immer gleich sind, wie der Satz des Thales sagt. Im Film wird der Beweis geführt mit einer Geraden, die von einem Halbkreis doppelt geschnitten wird. Benennt man die beiden Schnittpunkte als Punkte A und B eines Dreiecks und wählt einen beliebigen Punkt C auf dem Halbkreis, so entsteht hier immer ein rechter Winkel. Ob der Punkt mittig oder mehr zu einem der Ränder hin gewählt wird, ist egal. Dieser Halbkreis ist der Thaleskreis. Wird ein Punkt C abseits davon gewählt, hat der dazugehörige Winkel niemals 90 Grad, was im Film unter Beweis gestellt wird. Ein rechtwinkliges Dreieck kann auch gleichschenklig sein, muss es aber ni...hier weiterlesen

Produktion: 2014

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Film: Vierecke

Es gibt bestimmte Eigenschaften, die allen Vierecken gemein ist. Beispielsweise beträgt ihre Winkelsumme immer 360 Grad. Die Figuren haben alle stets vier Seiten, vier Ecken und vier Winkel. Der Film stellt die verschiedenen Formen von Vierecken vor. Er erklärt dabei die Erkennungszeichen der jeweiligen besonderen Form. Hat ein Viereck vier gleich Seiten und vier rechte Winkel, ist es ein Quadrat. Ein Rechteck hat vier rechte Winkel und zwei mal zwei gleiche Seiten. Ein Parallelogramm weist zwei mal zwei gleiche Winkel und zwei mal zwei gleiche Seiten auf. Die Raute hat vier gleiche Seite und zwei mal zwei gleiche Winkel, von denen jeweils die gleich groß sind, die sich gegenüber liegen. ...hier weiterlesen

Produktion: 2014

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Film: Cosinus

In der Trigonometrie kann man mit dem Cosinus die Beziehungen zwischen den Seiten und den Winkeln eines Dreiecks darstellen. Ist das Dreieck rechtwinklig, liegt die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden übrigen Seiten sind die Ankathete und die Gegenkathete. Man kann das Seitenverhältnis der Hypotenuse zur Ankathete oder zur Gegenkathete in Abhängigkeit des zwischen ihnen liegenden Winkels messen, indem man den Cosinus verwendet. Dies wird an einem Beispiel demonstriert, für das die Ankathete (b), die Hypotenuse (c) und der Winkel (C) verwendet werden: Dabei entspricht der Quotient von (b) und (c) dem Cosinus von (C). Sind also nur zwei dieser Größen bekannt, kann man das Dr...hier weiterlesen

Produktion: 2014

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Film: Platonische Körper

Der Gelehrte Platon entdeckte vor ungefähr 2400 Jahren, dass einige mathematische Körper bestimmte Eigenschaften aufweisen, speziell durch ihre auffallende Symmetrie. Er ging davon aus, dass das ganze Universum aus diesen Körpern geschaffen wurde, und tatsächlich finden sie sich an vielen Stellen in der Natur wieder. Der Film stellt die fünf platonischen Körper vor. Als Erstes wird das Hexaeder, also der Würfel, betrachtet. Seine Eigenschaften werden aufgezeigt, ehe als Nächstes das Tetraeder, also der Vierflächner aus gleichseitigen Dreiecken, näher beleuchtet wird. Auch das Oktaeder, das Ikosaeder und das Dodekaeder werden mit ihren jewe...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Film: Volumen und Oberflächen von Prismen und Zylindern

Zylinder begegnen uns im Alltag oft, zum Beispiel in Form von Konservendosen. Um ihre Oberfläche zu berechnen, muss man die Grundflächen der beiden Seiten mit der Mantelfläche addieren. Für die Seitenflächen berechnet man den Flächeninhalt des Kreises, den sie jeweils bilden, und für die Mantelfläche den des Rechtecks, als das man sie erkennt, wenn man sie ausgebreitet hat. Prismen haben, wie auch Zylinder, an jeder Stelle den gleichen Querschnitt. Auch bei ihnen wird die Grundfläche mal zwei gerechnet und mit dem Mantelflächenrechteck addiert. Um das Volumen zu berechnen, multipliziert man jeweils die Grundfläche mit der Körperh...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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Film: Abstände im Kartesischen Koordinatensystem

Der Abstand ist die Länge der kürzesten Strecke zwischen zwei Punkten. Wie man diesen Abstand im kartesischen Koordinatensystem berechnet, erklärt dieser Film. Er beginnt mit dem Beispiel, in dem der Abstand eines Punktes auf der Achse zum Ursprungspunkt festgestellt werden soll. Es wird gezeigt, dass es keine negativen Strecken gibt und dass der Abstand daher immer mit einer positiven Zahl angezeigt wird. In weiteren Beispielen wird gezeigt, wie man den Abstand von Punkten misst, die nicht direkt auf einer der Achsen liegen: Man schafft aus dem Punkt und der Achse ein rechtwinkliges Dreieck und wendet den Satz des Pythagoras an. Gleiches gilt für den Abstand zweier Pu...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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Film: Quader, Prismen, Zylinder

In der räumlichen Geometrie erhalten Figuren eine dritte Dimension dazu und bilden Körper. Der Film betrachtet den Quader, das Prisma und den Zylinder genauer. Den Anfang macht der Quader, der aus geraden, zueinander parallelen Flächen besteht. Die beiden Flächen, die einander gegenüberliegen, sind genau gleich groß. Der Film stellt auch den Würfel vor, der eine besondere Art von Quader ist, und nennt Beispiele von Quadern im Alltag. Das Prisma hat ein beliebiges Vieleck sowohl als Grundfläche als auch als Deckel. Die Seitenkanten, die zwischen den Ecken der beiden Grundflächen verlaufen, sind parallel zueinander und alle gleich lang. Beim Zyl...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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Film: Volumen und Oberflächen von Pyramiden und Kegeln

Der Film erläutert, wie sich die Oberflächen und Volumen von Pyramiden und Kegeln bestimmen lassen. Er beginnt mit der Betrachtung von Pyramiden. Für die Beispielrechnung wird eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche und vier gleichen, gleichschenkligen Dreiecken ausgewählt. Es wird die Formel genannt, nach der die Oberfläche berechnet wird, und aufgezeigt, dass dafür die Kenntnis der Kantenlänge und der Körperhöhe ausreicht. In alle Pyramiden passt stets ein Drittel des Volumens eines Prismas mit derselben Grundfläche und Kantenhöhe. Gleiches gilt für das Volumen von Kegeln und Zylindern, wie im Film demonstriert wird. ...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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Film: Symmetrie und Spiegelungen

Symmetrie finden wir oft im Alltag - sie sorgt für Stabilität. Im Film wird gezeigt, wo uns Symmetrie überall begegnet. Häufig kann man durch einen symmetrischen Körper eine Symmetrieachse ziehen, und die beiden Hälften gleichen sich. Das ist die Achsensymmetrie. Anhand eines Beispiels wird gezeigt, wie man ein Viereck mit einem Geodreieck an der Symmetrieachse spiegelt. Mit der Drehung oder der zentrischen Streckung wird eine weitere Symmetrieform vorgestellt: Die Punktsymmetrie. Dabei kann man das gespiegelte Bild um einen Punkt drehen, bis es mit dem Ursprungsbild überlappt. Auch hier wird gezeigt, wie man das Geodreieck richtig einsetzt. Außerd...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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Film: Ähnlichkeit und zentrische Streckung

Ähnlichkeit ist im normalen Sprachgebrauch ein eher schwammiger Begriff, in der Mathematik hingegen wird er sehr präzise verwendet. Der Film zeigt anhand des Beispiels von Dreiecken, dass eine Ähnlichkeit besteht, wenn die Winkel gleich groß und die Seiten zwar ungleich lang sind, aber innerhalb eines Dreiecks im selben Größenverhältnis stehen wie in dem anderen. Für die zentrische Streckung wird das Dreieck in ein Koordinatensystem übertragen. Es wird gezeigt, wie man es hier mittels der Streckungslinien verkleinern oder vergrößern kann. Es folgt die Erläuterung, wie man den Streckungsfaktor k bestimmt und wie das Dreieck au...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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Film: Maßstäbe und Abbildungen

Alle verkleinerten Abbildungen müssen maßstabsgetreu sein, damit man mit ihnen planen kann. Der Film nutzt die Beispiele einer Straßenkarte und eines Zimmergrundrisses, um die Probleme nicht maßstabsgetreuer Abbildungen zu zeigen. Es wird erklärt, was maßstabsgetreu genau bedeutet. Dann wird erläutert, dass es sich beim Maßstab um den Streckungsfaktor handelt und dass er immer als Verhältnis angegeben wird. Anhand der beiden Beispiele wird gezeigt, wie man einen sinnvollen Maßstab anlegt: Für eine Autokarte etwa kann man einen größeren Streckungsfaktor wählen als für eine Wanderkarte, da man zu Fuß deu...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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Film: Quader - Volumen und Oberfläche

Bei einem Quader berechnet man das Volumen, indem man seine Länge mit seiner Breite und seiner Höhe multipliziert. Um die Größe der Oberfläche in Erfahrung zu bringen, muss man die Inhalte aller sechs Seiten berechnen, von denen jeweils die beiden sich gegenüberliegenden gleich groß sind. Die Ergebnisse werden addiert. Im Film wird gezeigt, wie man den Seiteninhalt berechnet. Zur Verdeutlichung der Thematik wird viel mit handfesten Beispielen gerechnet und mit kleinen Bauklötzen gearbeitet. Die Begriffe Kubikzentimeter und Kubikmeter werden erläutert, und es wird auch auf den Liter eingegangen. Der Würfel wird als Sonderfall vorgestellt,...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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