Unterrichtsmaterial: Mathematik

Ähnlichkeit ist im normalen Sprachgebrauch ein eher schwammiger Begriff, in der Mathematik hingegen wird er sehr präzise verwendet. Der Film zeigt anhand des Beispiels von Dreiecken, dass eine Ähnlichkeit besteht, wenn die Winkel gleich groß und die Seiten zwar ungleich lang sind, aber innerhalb eines Dreiecks im selben Größenverhältnis stehen wie in dem anderen. Für die zentrische Streckung wird das Dreieck in ein Koordinatensystem übertragen. Es wird gezeigt, wie man es hier mittels der Streckungslinien verkleinern oder vergrößern kann. Es folgt die Erläuterung, wie man den Streckungsfaktor k bestimmt und wie das Dreieck au...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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Um Prozente leicht verständlich zu erklären, stellt man sie am besten grafisch dar. Im Film werden verschiedene Möglichkeiten dafür aufgezeigt und ihre jeweiligen Vor- und Nachteile genannt. Den Anfang macht das Balken- oder Streifendiagramm. Es wird erläutert, wie Prozentzahlen darauf dargestellt werden können und in welchen Momenten andere Möglichkeiten nützlicher sind. Wer zum Beispiel viele verschiedene Prozentzahlen miteinander vergleichen möchte, sollte sich des Torten- oder Kreisdiagramms bedienen. So ist auf einen Blick zu sehen, welche Zahlen was für einen Anteil am Grundwert, also der Gesamtmenge, haben. Geht es um die Entwicklu...hier weiterlesen

Produktion: 2016/17

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Symmetrie finden wir oft im Alltag - sie sorgt für Stabilität. Im Film wird gezeigt, wo uns Symmetrie überall begegnet. Häufig kann man durch einen symmetrischen Körper eine Symmetrieachse ziehen, und die beiden Hälften gleichen sich. Das ist die Achsensymmetrie. Anhand eines Beispiels wird gezeigt, wie man ein Viereck mit einem Geodreieck an der Symmetrieachse spiegelt. Mit der Drehung oder der zentrischen Streckung wird eine weitere Symmetrieform vorgestellt: Die Punktsymmetrie. Dabei kann man das gespiegelte Bild um einen Punkt drehen, bis es mit dem Ursprungsbild überlappt. Auch hier wird gezeigt, wie man das Geodreieck richtig einsetzt. Außerd...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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Der Film erläutert, wie sich die Oberflächen und Volumen von Pyramiden und Kegeln bestimmen lassen. Er beginnt mit der Betrachtung von Pyramiden. Für die Beispielrechnung wird eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche und vier gleichen, gleichschenkligen Dreiecken ausgewählt. Es wird die Formel genannt, nach der die Oberfläche berechnet wird, und aufgezeigt, dass dafür die Kenntnis der Kantenlänge und der Körperhöhe ausreicht. In alle Pyramiden passt stets ein Drittel des Volumens eines Prismas mit derselben Grundfläche und Kantenhöhe. Gleiches gilt für das Volumen von Kegeln und Zylindern, wie im Film demonstriert wird. ...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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In der räumlichen Geometrie erhalten Figuren eine dritte Dimension dazu und bilden Körper. Der Film betrachtet den Quader, das Prisma und den Zylinder genauer. Den Anfang macht der Quader, der aus geraden, zueinander parallelen Flächen besteht. Die beiden Flächen, die einander gegenüberliegen, sind genau gleich groß. Der Film stellt auch den Würfel vor, der eine besondere Art von Quader ist, und nennt Beispiele von Quadern im Alltag. Das Prisma hat ein beliebiges Vieleck sowohl als Grundfläche als auch als Deckel. Die Seitenkanten, die zwischen den Ecken der beiden Grundflächen verlaufen, sind parallel zueinander und alle gleich lang. Beim Zyl...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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Der Abstand ist die Länge der kürzesten Strecke zwischen zwei Punkten. Wie man diesen Abstand im kartesischen Koordinatensystem berechnet, erklärt dieser Film. Er beginnt mit dem Beispiel, in dem der Abstand eines Punktes auf der Achse zum Ursprungspunkt festgestellt werden soll. Es wird gezeigt, dass es keine negativen Strecken gibt und dass der Abstand daher immer mit einer positiven Zahl angezeigt wird. In weiteren Beispielen wird gezeigt, wie man den Abstand von Punkten misst, die nicht direkt auf einer der Achsen liegen: Man schafft aus dem Punkt und der Achse ein rechtwinkliges Dreieck und wendet den Satz des Pythagoras an. Gleiches gilt für den Abstand zweier Pu...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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Zylinder begegnen uns im Alltag oft, zum Beispiel in Form von Konservendosen. Um ihre Oberfläche zu berechnen, muss man die Grundflächen der beiden Seiten mit der Mantelfläche addieren. Für die Seitenflächen berechnet man den Flächeninhalt des Kreises, den sie jeweils bilden, und für die Mantelfläche den des Rechtecks, als das man sie erkennt, wenn man sie ausgebreitet hat. Prismen haben, wie auch Zylinder, an jeder Stelle den gleichen Querschnitt. Auch bei ihnen wird die Grundfläche mal zwei gerechnet und mit dem Mantelflächenrechteck addiert. Um das Volumen zu berechnen, multipliziert man jeweils die Grundfläche mit der Körperh...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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Der Gelehrte Platon entdeckte vor ungefähr 2400 Jahren, dass einige mathematische Körper bestimmte Eigenschaften aufweisen, speziell durch ihre auffallende Symmetrie. Er ging davon aus, dass das ganze Universum aus diesen Körpern geschaffen wurde, und tatsächlich finden sie sich an vielen Stellen in der Natur wieder. Der Film stellt die fünf platonischen Körper vor. Als Erstes wird das Hexaeder, also der Würfel, betrachtet. Seine Eigenschaften werden aufgezeigt, ehe als Nächstes das Tetraeder, also der Vierflächner aus gleichseitigen Dreiecken, näher beleuchtet wird. Auch das Oktaeder, das Ikosaeder und das Dodekaeder werden mit ihren jewe...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Für die meisten Zahlen gibt es Teilbarkeitsregeln, die es vereinfachen zu sagen, ob eine bestimmte große Zahl durch sie teilbar ist. Der Film erläutert diese Regeln für die 2, 3, 4, 5, 6 und 9. Er zeigt, dass es bei der 8 schon viel schwieriger wird und dass die Regel, die für die 7 gilt, leider keine Vereinfachung ermöglicht. Zunächst muss man herausfinden, ob die 10, die 100, die 1000 oder eine weitere der runden Folgezahlen durch die Zahl, um die es geht, teilbar ist. Kann man die 10 durch die Zahl teilen (wie 2 und 5), muss man lediglich die letzte Ziffer einer jeden großen Zahl betrachten. Es handelt sich also um Endstellenregelungen. Bei der...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Wenn man eine Überschlagsrechnung anstellen will, hilft es, wenn man die Zahlen vorher rundet. Dadurch werden sie zwar etwas ungenauer, aber es lässt sich leichter mit ihnen rechnen. Der Film zeigt am Beispiel zweier Menschen im Supermarkt, dass man nicht nur auf- oder abrunden sollte, weil diese Vorgehensweise das Ergebnis verfälscht. Stattdessen wird gezeigt, bis wann man ab- und ab wann man aufrundet. Grundsätzlich sollte man vor dem Runden entscheiden, wie genau die Zahl noch sein muss, damit die Überschlagsrechnung überhaupt noch hilfreich ist: Für verschiedene Bedürfnisse und Situationen sind ganz unterschiedliche Abweichungen annehmbar. Es wi...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Das ursprünglich in Indien erfundene Kriegsspiel 'Tschaturanga' hat unter dem Namen 'Schach' nicht nur ganz Deutschland erobert, sondern ist beliebt in aller Welt. Heute wird Schach auch als Sport gespielt. Dabei werden die Meister immer jünger und die Herausforderer immer stärker. Es reicht nicht aus, nur die Regeln des Spiels zu kennen. Wer beim Schach gewinnen will, muss die Schwächen des Gegners studieren und ausnutzen. Die 14-jährige Elisabeth Pähtz, begabteste Nachwuchsspielerin im deutschen Damenschach, spielt Partien oftmals nach, um die Denkweisen nachzuvollziehen. Auf ihren Überraschungsgegner, den Tschechen Vlastimil Hort, konnte sie sich alle...hier weiterlesen

Produktion: 2000

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Geometrische Formen können im kartesischen Koordinatensystem verschoben werden. Zunächst wird im Film gezeigt, wie man einen einzelnen Punkt verschiebt. Dafür wird der Begriff des Vektors erläutert und gezeigt, wie man seinen Wert angibt. Der Punkt wird auf der x-Achse um sieben Einheiten nach rechts verschoben, bleibt aber auf derselben Höhe der y-Achse.Man kann geometrische Formen aber auch nach links, oben und unten verschieben. Ist bei der Verschiebung nach rechts der x-Wert höher, liegt er bei der Verschiebung nach links niedriger. Eine Verschiebung nach oben bedeutet einen höheren y-Wert, nach unten einen niedrigeren. Bei der Verschiebung geometris...hier weiterlesen

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Die Spiegelung im kartesischen Koordinatensystem wird zunächst an einem Punkt A demonstriert, der im ersten Quadranten liegt. Die Spiegelung wird an der y-Achse vorgenommen, und es wird gezeigt, wie das funktioniert. Der Spiegelpunkt A' hat denselben Abstand zur y-Achse wie der Punkt A, allerdings liegt er im zweiten Quadranten, und der x-Wert hat denselben Betrag wie bei A, aber ein anderes Vorzeichen.Es wird festgestellt, dass bei Spiegelungen an der y-Achse stets der y-Wert gleich bleibt und sich beim x-Wert das Vorzeichen ändert. Umgekehrt bleibt bei Spiegelungen an der x-Achse der x-Wert gleich und das Vorzeichen des y-Werts ändert sich. Es wird gezeigt, was bei Spiege...hier weiterlesen

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Punkte und Linien sind einfache Formen der Geometrie. Anders als Punkte, die wir mit dem Stift aufs Papier setzen, haben geometrische Punkte keine Ausdehnung, ihr Durchmesser beträgt also Null. Sie werden mit Großbuchstaben bezeichnet und durch kleine Kreuze markiert, die mittels Linien verbunden werden können. Eine Linie zwischen zwei Punkten A und B wird Strecke genannt. Die Strecke hat eine Länge, nämlich den Abstand zwischen A und B, aber keine Breite: Sie besteht aus zahllosen geometrischen Punkten. Verlängert man sie über einen der Punkte hinaus, hat sie einen Anfangs-, aber keinen Endpunkt. Man nennt sie nun Strahl, und sie ist unendlich lang. V...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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Zinsen begegnen uns überall im Alltag. Sie entstehen, wenn sich jemand Geld leiht, etwa bei einer Bank: Da die Bank daran verdienen möchte, dass sie ihr Geld für einen bestimmten Zeitraum verleiht, erhebt sie Zinsen darauf. Das bedeutet, dass der Leihende später die komplette Kreditsumme zuzüglich eines gewissen Prozentsatzes zurückzahlen muss, der im Vorfeld vereinbart wird. Der Film erläutert die Grundlagen der Zinsrechnung. Dafür wird an die Formel für die Prozentrechnung erinnert und gezeigt, dass die für die Zinsrechnung ganz ähnlich aussieht, dass allerdings hier auch der Zeitfaktor mit einbezogen werden muss: Zinsen = Kapital ...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Jede geometrische Figur mit Ecken ist ein Vieleck, also ein Polygon. Dieser Film beschäftigt sich vor allem mit regelmäßigen Vielecken, bei denen alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß sind. Es wird an die bereits bekannten Figuren des gleichseitigen Dreiecks und des Quadrats erinnert und gezeigt, wie man bei ihnen den Flächeninhalt und den Umfang berechnet. Anhand des regelmäßigen Sechsecks wird demonstriert, wie man ein Vieleck in mehrere Dreiecke unterteilt und so den Flächeninhalt wie auch den Umfang des Vielecks berechnen kann. Das Vorgehen unterscheidet sich bei Polygonen mit einer geraden und solchen mit einer ungeraden Anzah...hier weiterlesen

Produktion: 2016

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Beim Rechnen mit Termen kann man es sich in der Mathematik ziemlich leicht machen: Im Film wird erklärt, wie man Terme vereinfachen kann. Dafür findet nicht nur das Kommutativgesetz mehrfach Anwendung, sondern es wird auch gezeigt, wie man lange Additionen in Multiplikationen darstellen und das Multiplikationszeichen teilweise weglassen kann. Bei kürzeren Termen ist das Rechnen noch recht leicht. Längere Terme mit mehreren Variablen erschweren den Überblick. Es wird anhand von Beispielen erklärt, wie man die verschiedenen Variablen nach dem Alphabet sortiert und dann die einzelnen Summanden zusammenfasst. Das funktioniert sogar bei Summanden, die teilweise n...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Bei einem Term handelt es sich um einen mathematischen Ausdruck, der neben Zahlen auch Klammern, Variablen und Rechenzeichen beinhalten darf, allerdings keine Relationszeichen. Zwei Terme, die durch ein Gleichheitszeichen in Beziehung gesetzt werden, nennt man eine Gleichung. Der Film erläutert, dass es sich bei Variablen um Buchstaben handelt, für die Zahlen eingesetzt werden können, also um Platzhalter. Es wird anhand von Beispielen gezeigt, wie man mittels Variablen Rechnungen, die für verschiedene Zahlen gelten, allgemeingültig aufschreiben kann. Auch wird gezeigt, dass es mehrere verschiedene Variablen pro Term geben kann und dass es abhängige und unabh...hier weiterlesen

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Geometrische Körper auf einem Blatt Papier so darzustellen, dass das Auge sie auch als solche erkennt, ist nicht unkompliziert. Im Film wird gezeigt, dass man einen Würfel, den man auf Augenhöhe betrachtet, aufs Papier übertragen nur als Quadrat sieht. Um ihn räumlich darzustellen, muss man ihn aus der Kavalierperspektive zeichnen, also leicht seitlich und von oben. Es wird anhand des Beispiels des Würfels gezeigt, wie diese Zeichenart funktioniert: Man beginnt mit einem Quadrat als Grundfläche und zeichnet die Seitenlinien, die nach hinten wegführen, verkürzt und im Winkel von 45 Grad ein. Die Linien, die man nicht sehen kann, werden gestrich...hier weiterlesen

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Winkel entstehen überall dort, wo zwei Linien sich schneiden. Im Film wird daran erinnert, dass rechte, gestreckte und Vollwinkel bereits bekannt sind, ebenso wie spitze, stumpfe und überstumpfe Winkel. Dann wird gezeigt, was es mit benachbarten Winkeln auf sich hat und dass sie eigentlich überall zu finden sind, wo es einen Winkel gibt: Man muss dafür nur eine der Linien verlängern. Es wird erläutert, warum die Nebenwinkel α und β zusammen immer 180 Grad ergeben. Das kann man auch an der Skala des Geodreiecks erkennen, auf der sich beide Winkelwerte stets zu 180 Grad ergänzen. Auch δ ist ein Nebenwinkel von α, zugleich aber auch ...hier weiterlesen

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Hat man es mit komplexen Termen zu tun, kann man sie mittels verschiedener Regeln vereinfachen. Man stellt die Summanden um und sortiert sie nach Variablen, wobei man darauf achtet, dass jeder sein eigenes Vorzeichen behält. Dann fasst man sie zusammen und verzichtet in eindeutigen Fällen auf das Multiplikationszeichen. Eine fortgesetzte Multiplikation mit demselben Faktor kann man als Potenz abkürzen. Im Film wird erklärt, wie die Potenz aufgebaut ist, und es wird der Unterschied zur reihenweisen Addition verdeutlicht. In Termen dürfen neben Zahlen, Rechenzeichen und Variablen auch Klammern stehen, und anhand von Beispielen wird verdeutlicht, für welche Zwe...hier weiterlesen

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Die Prozentrechnung begegnet uns überall im Alltag, wie der Film anhand einer Wahl verdeutlicht. Es wird gezeigt, dass es dabei immer um einen Anteil von etwas geht. Prozentzahlen ermöglichen eine andere Darstellung von Brüchen. Ein Prozent ist stets ein Hundertstel von einem Ganzen, und der Wert, von dem ein Prozentwert ausgerechnet werden soll, ist immer der Grundwert. Der Grundwert (G) beträgt in jedem Fall 100 Prozent. Die Zahl vor dem Prozentzeichen ist der Prozentsatz (p), und das Ergebnis der Multiplikation der beiden Werte wird Prozentwert genannt (W). Die einfachste Formel für die Prozentrechnung lautet also p x G = W. Hilfreich ist bei der Berechnung da...hier weiterlesen

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Der Begriff Primzahlen stammt ab vom lateinischen Primus, was 'der Erste' heißt. Primzahlen sind nur durch sich selbst und durch Eins teilbar, und alle anderen Zahlen sind ihre Produkte. Die kleinste Primzahl ist die 2, eine größte gibt es nicht, da die Zahlen unendlich sind. Die größte bislang errechnete Primzahl hat mehr als 17 Millionen Stellen. Es wird am Beispiel der 13 gezeigt, wie man mit den Teilbarkeitsregeln überprüfen kann, ob eine Zahl eine Primzahl ist oder nicht: Es ist keine gerade Zahl, ihre Quersumme ist nicht durch 3 teilbar, sie endet nicht auf 5 oder 0. Da dieses Verfahren aber langwierig ist, wird im Film auch das Sieb des Eratos...hier weiterlesen

Produktion: 2015

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Eine Primzahl ist nur durch sich selbst und durch Eins teilbar. Viele Zahlen aber lassen sich durch mehrere andere Zahlen teilen. Man kann sie in ihre Primfaktoren zerlegen. Diese Zerlegung ist dann eindeutig, wenn alle Faktoren Primzahlen sind. Der Film zeigt dies anhand der Zahlen 12 und 48. Man beginnt die Zerlegung jeweils mit der Teilung der Ausgangszahl durch die kleinste Primzahl. Geht das nicht auf, wählt man die nächstgrößere. Endet die Zerlegung schließlich mit der letzten Primzahl, kann man beliebig viele der hier gefundenen Primfaktoren miteinander multiplizieren und erhält in jedem Fall eine Teilermenge der Ausgangszahl. Bei sehr großen ...hier weiterlesen

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Eine regelmäßige geometrische Form mit Ecken und Kanten hat eine Grundfläche, das Netz, in das man diese Form gleichsam aufklappen kann - wie etwa die an einem Stück abgepellte Schale der Mandarine. Das Netz kann für einige Formen viele verschiedene Ausprägungen annehmen, für andere nur wenige. Es ist nur dann wirklich ein Netz, wenn sich die Form daraus in einem Guss wieder zusammenfügen lässt. Das Vorgehen wird im Film an einigen Beispielen demonstriert, etwa am Tetraeder oder an der vierseitigen quadratischen Pyramide. Eine andere Form von Netz zeigen hingegen Zylinder oder Kegel, die im Alltag relativ häufig Einsatz finden, etwa in F...hier weiterlesen

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